Logaritmo

Olá Galera. Este é o Conteúdo da Prova de Matemática. Estudem e Boa Sorte!!!

Logaritmo

 

Os logaritmos foram criados por John Napier (1550-1617) e desenvolvidos por Henry Briggs (1531-1631); foram introduzidos no intuito de facilitar cálculos mais complexos. Através de suas definições podemos transformar multiplicações em adições, divisões em subtrações, potenciações em multiplicações e radiciações em divisões.

Dados dois números reais positivos a e b, onde a ≠ 1 e a > 1 e b > 0, existe somente um número real x, tal que a^x=b ou log_ab=x.

Temos: 

a = base do logaritmo 

b = logaritmando 

x = logaritmo

O logaritmo de b na base a é o expoente que devemos atribuir ao número a para obter b.

Exemplos: log₂4 = 2, pois 2² = 4

log₃27 = 3, pois 3³ = 27

log₁₂144 = 2, pois 12² = 144

Definições:
1ª propriedade – Logaritmo de 1 em qualquer base a é 0. log_a1 = 0
log_a1 = x
a^x = 1 (a⁰ = 1)
x = 0

2º propriedade – O logaritmo da base, qualquer que seja a base, será 1. log_aa = 1
log_aa = x
a^x = a
x = 1

3º propriedade log_aa^m = m
log_aa^m = x
a^x = a^m
x = m

4º propriedade log_ab = log_ac log_ab = x → a^x = b
log_ac = x → a^x = c
b = c

5º propriedade a^log_ab= b
a^log_ab= x
log_ab= a_x
log_ax = log_ab
x = b

Exemplos resolvidos:

Podemos aplicar as definições de logaritmos em situações que envolvam Matemática Financeira, Química (cálculo de acidez), Física (ondulatória), Medicina, Biologia e etc. 

Logaritmo é um estudo da matemática que depende maciçamente do conhecimento sobre potenciação e as suas propriedades, pois para resolvermos, encontrarmos o valor numérico de um logaritmo é preciso desenvolver uma potência ou toda potencia pode ser transformada em um logaritmo. 

a x = b ↔ x = log a b 

Onde: a é a base 

b é logaritmando 

x é o valor do logaritmo

Propriedades operatórias dos logaritmos

Os logaritmos possuem inúmeras aplicações no cotidiano, a Física e a Química utilizam as funções logarítmicas nos fenômenos em que os números adquirem valores muito grandes, tornando-os menores, facilitando os cálculos e a construção de gráficos. O manuseio dos logaritmos requer algumas propriedades que são fundamentais para o seu desenvolvimento. Veja:

• Propriedade do produto do logaritmo
Se encontrarmos um logaritmo do tipo: log_a(x * y) devemos resolvê-lo, somando o logaritmo de x na base a e o logaritmo de y na base a.

log_a (x * y) = log_a x + log_a y

Exemplo:
log₂(32 * 16) = log₂32 + log₂16 = 5 + 4 = 9


• Propriedades do quociente do logaritmo
Caso o logaritmo seja do tipo log_ax/y, devemos resolvê-lo subtraindo o logaritmo do numerador na base a pelo logaritmo do denominador também na base a.

log_ax/y = log_ax – log_ay

Exemplo:
log₅(625/125) = log₅625 – log₅125 = 4 – 3 = 1


• Propriedade da potência do logaritmo
Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expoente irá multiplicar o resultado desse logaritmo, veja como:

log_ax^m = m*log_ax

Exemplo:
log₃81² = 2*log₃81 = 2 * 4 = 8



• Propriedade da raiz de um logaritmo
Essa propriedade é baseada em outra, que é estudada na propriedade da radiciação, ela diz o seguinte:



Essa propriedade é aplicada no logaritmo quando:

Exemplo:

• Propriedade da mudança de base
Existem situações nas quais precisaremos utilizar a tábua de logaritmos ou uma calculadora científica na determinação do logaritmo de um número. Mas para isso devemos trabalhar o problema no intuito de estabelecer o logaritmo na base 10, pois as tábuas e as calculadoras operam nessas condições, para isso utilizamos a propriedade da mudança de base, que consiste na seguinte definição:

Exemplo

Sistema de Logaritmos Decimais

O sistema de logaritmos decimais foi proposto por Henry Briggs com o propósito de adequar os logaritmos ao sistema de numeração decimal. No caso do sistema decimal, somente as potências de 10 com expoentes inteiros possuem logaritmos inteiros.

Exemplos:
log 1 = 0
log 10 = 1
log 100 = 2
log 1 000 = 3
log 10 000 = 4
log 100 000 = 5
log 1 000 000 = 6

Dessa maneira, a posição dos logaritmos de números pode ser descoberta da seguinte forma:
Os logaritmos dos números compreendidos entre 1 e 10 possuem resultados entre 0 e 1, os compreendidos entre 10 e 100 estão entre 1 e 2, os compreendidos entre 100 e 1000 estão entre 2 e 3 e assim por diante.

Exemplos

Verificar entre quais números inteiros estão:

a) log 120 100 < 120 < 1000 → 10² < 120 < 10³ → log 10² < log 120 < log 10³ → 2 < log 120 < 3
O logaritmo de 120 está entre 2 e 3
Usando a calculadora científica, temos log 120 = 2,079181246047624827722505692704

b) log 1 342 1000 < 1342 < 10000 → 10³ < 1342 < 10⁴ → log 10³ < log 1342 < log 10⁴ → 3 < log 1342 < 4
O logaritmo de 1342 está entre 3 e 4
log 1342 = 3,1277525158329732698496873797248

c) log 21 10 < 21 < 100 → 10 < 21 < 10² → log 10 < log 21 < log 10² → 1 < log 21 < 2
O logaritmo de 21 está entre 1 e 2
log 21 = 1,3222192947339192680072441618478

d) log 12 326 10 000 < 12 326 < 100 000 → 10⁴ < 12 326 < 10⁵ → log 10⁴ < log 12 326 < log 10⁵
4 < log 12 326 < 5
log 12 326 = 4,090822163394656573599272585104 

Aplicações dos Logaritmos

Exemplo 1

Paulo aplicou R$ 800,00 num investimento que rende 3% a.m., a juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o saldo será de R$ 1.200,00?


Exemplo 2

Em uma determinada cidade a taxa de crescimento populacional e de 4% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

População do ano-base = P0
População após um ano = P0 (1,04) = P1
População após dois anos = P0 (1,04)² = P2

População após x anos = P0 (1,04)x = Px

Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, temos:


Exemplo 3

Em quanto tempo 800 g de uma certa substância radioativa, que se desintegra a uma taxa de 2% ao ano, se reduzirá a 200 g? Use:


em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.